Robot Manipulator and Underwater Robot Application 3주차 3-5 Homogeneous Transformation

Homogeneous Transformation

Homogeneous Transformation이라고 하는 것은 어떠한 2개의 좌표계 사이의 2번째 좌표계에 있는 한 점, $P$라는 그 점을 1번째 좌표계에 있는 점으로서 1번째 좌표계에서 표현하는 방법을 나타낼 수 있습니다.

위의 그림에서 보이는 것처럼, B라는 프레임에서의 한 점 P가 존재하는 데 이 B라는 프레임에서 점 P라는 부분을 A라는 프레임에서 살펴보고 싶다는 것이죠.

예를 들면 여러분들은 지구에 있고 지구에서 달에 있는 한 점의 위치를 알고 싶을 때, 그 점에 대해 정확히 알기 위해서는 여러분들은 지금 여기 서 있는 지점에서 달의 중심까지의 거리(좌표)와 그 달에서 점까지 위치, 그 2개의 벡터를 가지고 설명한다면 조금 더 쉽게 그 점을 표현할 수 있을 겁니다.

마찬가지로, 어떠한 B라는 프레임 위의 점을 설명하기 위해서 B라는 프레임에서의 점을 A라는 프레임에서 어떻게 설명되는지 프레임을 돌리는 로테이션시켜서 A라는 프레임에 대해서 설명하는 방법, 그 B라는 프레임에서의 P점을 A로 가지고 오는 로테이션 매트릭스
즉 로테이션 매트릭스 B from A 라고 하는 $ARB$라는 것을 통해서 이 B라는 프레임에서의 P점의 위치를 설명할 수 있습니다.

그 위치를 설명한 내용에다 추가를 해서 B라는 프레임에서의 기준점 그 원점을 A라는 프레임에서 설명하는, 즉 B의 origin을 A에 대해서 설명한 위치 이 2가지로 설명할 수 있습니다.

이렇게 설명하는 것이 바로 위의 식처럼 A라는 프레임에서의 P점은 B라는 프레임에서의 P점을 가지고 옮겨오는 이러한 수식으로서 표현이 가능합니다.

이렇게 설명되어있는 것을 4차원으로 확장해보도록 하겠습니다.

먼저, 이 Position vector에다가는 1이라고 하는 이 숫자를 더함으로서 원래 Position vector는 3X1벡터가 되는데 이를 4X1의 벡터의 형태로 바꾸게 됩니다.
그 다음에, Transposition Matrix라는 부분을 4 by 4 매트릭스로 확장하게 되는데, 이 4 by 4 매트릭스 같은 경우에는 앞의 3 by 3 부분은 Rotation Matrix를 배치하고 그 옆의 3 by 1벡터는 B의 origin에서부터 A까지, 즉 A프레임에 대한 B origin의 좌표를 배치하고 아랫쪽에는 [0,0,0,1]이라는 4가지 숫자를 배치함으로서, 4 by 4 매트릭스로 확장하게 됩니다.

여러분이 이 식을 매트릭스의 연산을 배웠기 때문에 이 매트릭스의 연산을 계산해보면, 즉 $A^p$, A프레임에 대한 P점은 Rotation MatrixP, B프레임에 대한 P와, P점인데, 이 P점은 A프레임에 대한 origin1을 하기 때문에 결과적으로, 위에 표현되는 식은 앞서서 설명했던 이 위에 있는 식, 즉 P가 A에서 어떻게 기술되는지를, 즉 B의 origin과 Rotation Matrix를 통해서 설명한 이 식과 정확하게 일치하는 것을 확인할 수 있습니다.

위에 있는 식은 분명히 Rotation Matrix에 $p$라는 포지션 벡터를 곱하고 그에 다시 origin이라는 position vector를 더해주어 얻어지는 즉 곱하기와 더하기로 이루어진 연산이었는데
밑의 식은 이러한 4 by 4 매트릭스로 확장하는 하나의 매트릭스에 벡터 하나를 곱하기 한번의 연산으로 바꿔주기 때문에 내부적으로 똑같지만 우리의 생각은 단순해질 수 있죠.

수식적으로는 똑같지만 생각에 있어서는 곱하고 더하는 과정을 단순하게 하나의 곱하기로 바꾸어서 대체해서 생각할 수 있다는 장점을 가질 수 있기 때문에
이렇게 Homogeneous Transformation이라고 부르는 것을 4 by 4 매트릭스를 도입하게 된 것입니다.

더 나아가서, 이러한 Homogeneous Transformation의 의미를 좀 더 살펴볼 필요가 있는데 이 Homogeneous Transformation을 T라고 표현할 때 위의 3 by 3, 일반적으로 Rotation Matrix, 두 좌표계 상의 로테이션을 각도를 맞춰주는 로테이션을 의미하고
그 옆에 있는 Translation Vector 같은 경우에는 두 좌표계 사이의 원점 사이의 거리 Vector를 의미하게 됩니다.

추가적으로, 밑에는 아까 [0,0,0,1]이라고 말씀드렸는데, 로보틱스나 일반적인 트랜스포메이션 매트릭스에서는 항상 밑에는 [0,0,0,1]이라는 개념을 활용해서 쓸 텐데
이것들이 꼭 [0,0,0,1]로만 고정되는 것은 아닙니다.

컴퓨터 그래픽스나 캐드 툴 등에서 사용할 때, 한쪽으로 확장시킨다거나 Zoom out/In을 할 때에는
바로 이러한 밑의 Perspective Translation과 scaling vector 등을 활용해서, zooming이나 한쪽으로만 비대칭적으로 더 확장할 때,
이러한 개념으로서의 확장을 할 수 있는 여지도 밑의 4개의 항들로 구현이 가능하기 때문에 Homogeneous Transformation의 매트릭스, T는 굉장히 다양한 분야에서 널리 쓰일 수 있습니다.

그렇지만, 이 로보틱스 분야와 기구학 분야에서는 Perspective Translation에서는 [0,0,0]로, Scaling Factor는 1로 고정하는 그런 매트릭스로 활용할 예정입니다.

추가적으로, Homogeneous Transformation을 앞서서 살펴본 것처럼 이렇게 3 by 1 벡터는 3 by 3 매트릭스*3 by 1 벡터를 하고 3 by 1 벡터를 더해주는 과정을, 4 by 1 백터는 4 by 4 매트릭스에 4 by 1 벡터를 곱해주는
이러한 Homogeneous Transformation으로 바꿀 수 있는 방법에 대해서 말씀드렸습니다.

이렇게 A라는 프레임과 B라는 프레임이 있고 B라는 프레임의 한 점 [0,1,1]이라는 점이 있고 이 B라는 프레임은 A와 비교해서 로테이션이 이루어져 있습니다. 그리고 B라는 프레임에서의 원점은 A라는 프레임에 대해서 [0,3,1]만큼 떨어져 있습니다.

그렇다면, B라는 프레임에 있는 [0,1,1]이라는 점을, Homogeneous Transformation에서 Rotation Matrix를 먼저 정의할 필요가 있는데 여기서는 여러분들이 B라는 프레임에서의 XYZ, 즉 $X_B$, $Y_B$, $Z_B$를 A라는 프레임에서, 표현하게 되면, [1,0,0], [0,0,1], [0,-1,0]이렇게 3 by 3 로테이션 매트릭스로 표현 가능하고 떨어진 거리는 [0,3,1]의 거리만큼 떨어져 있음을 알 수 있기 때문에
이와 같이, Homogeneous Transformation Matrix로 정의할 수 있고 두개를 곱했을 때, 바로 [0,2,2]로 앞서서 말씀드렸던 것처럼 뭔가 2개의 조합이 한가지로 이루어졌는데, 바로 이렇게 곱해버리니까, [0,2,2] 물론 밑에 1이라는 더미 텀이 있지만 이 더미 텀을 빼버리면
손쉽게, [0,1,1]이라는 B프레임에서의 점을 [0,2,2]라는 A프레임의 점으로 A프레임으로 충분히 쉽게 Homogeneous Transformation을 통해서 표현할 수 있습니다.

그렇다면, Homogeneous Transformation을 앞에서 살펴본 것처럼, 이렇게 2가지의 곱하기와 더하기로 이루어진 연산을 하나의 곱하기로 바꿔서 표현할 수 있다는 장점이 있다고 말씀드렸는데
그러한 장점만이 있는 게 아니라 좀 더 살펴보게 되면, 즉 한번의 Transformation 한번의 변환만을 할 경우에는 그다지 큰 장점이 없을 수도 있습니다.

그렇지만 위의 식처럼 C에서부터 B로 오고 B에서부터 A로가는 즉, C프레임에 있는 한 점을, B프레임으로 옮기고, 다시 A프레임으로 옮겨오는,이러한 2가지의 수식을 가지고 설명하는 것을 한번 진행해보도록 하겠습니다.

이 2개의 연산을 연속적으로 진행하게 되면, 즉 어떤 P라는 점을 A라는 프레임에서 설명하기 위해서 우리는 바로 이 A라는 프레임, B라는 프레임, C라는 프레임을 하나하나 거쳐서 이와 같은 조금은 복잡해보이는 수식으로 표현을 해야 합니다.

그렇지만 이 수식을 Homogeneous Transformation으로 표현한다면 C라는 프레임의 P는 바로 Homogeneous Transformation C에서부터 B까지 온 것을 곱해주고 그 곱한 것을 다시 B에서 A까지 가져오는 Homogeneous Transformation의 곱으로 곱해주면 바로 A라는 프레임으로 넘어오게 되죠.
앞서서 본 위의 이 수식 즉, 그냥 어떤 Rotation Matrix와 Origin의 어떤 거리 관계식 이런 것들로 설명한 식보다 훨씬 간단해진다는 것을 알 수 있습니다.

수식적으로는 동일한 효과를 얻으면서 생각은 훨씬 더 쉽게할 수 있습니다. 바로 이 Homogeneous Transformation 하나만으로 얼마든지 한번이건 두번이건 세번이건, 연속적으로 진행될때마다 각각을 곱해주기만 하면 바로 이 복잡한 연산이 단순하게 바뀔 수 있다는 장점도 가지고 있습니다.

Inverse Transformation

일반적으로 Rotation Matrix같은 경우에는 앞서서, SO(3)에 포함되어 있기 때문에 자기 자신의 역행렬은 Transpose하고 일치한다,라고 설명한 바 있습니다.

그렇지만 Homogeneous Transformation같은 경우에는 확장을 했기 때문에 Homogeneous Transformation의 Inverse는 Homogeneous Transformation를 Transpose한 것과 완전히 같지는 않습니다.
특별히 그런 부분을 주의하기 위해서, Homogeneous Transformation의 Inverse를 다음과 같이 정의합니다.

즉, 앞서서 로테이션 매트릭스 자체는, 트랜스포즈 자체가 역행렬을 의미하기 때문에, 로테이션의 자리에는 바로 로테이션 매트릭스의 트랜스포즈 형태로 배치할 수 있고 원래 이 위치에는 B에서부터 A 즉, A에 대해서 B의 origin이 어떻게 표현되는지를 설명해야 하는데 역행렬이니까, 반대로 B라는 프레임에 대해서 A Origin의 위치를 써 넣어줘야 하는 것입니다.

그럼 어떻게 해야 하느냐, 바로 Inverse Transformation을 하게 된다면 즉 Rotation을 즉, B라는 프레임에 대해서 A라는 프레임으로 가져가게 된다면 Transpose한다면 역행렬이 된다고 했습니다.

그 역행렬에다가 B라는 origin을 A로 바꾸는 것을 곱해줌으로서 -를 곱해줌으로서 A origin을 B프레임에 대해서 설명할 수 있는 이러한 식이 완성되게 됩니다.

그래서, 이 두 식을 여러분들이 Homogeneous Transformation Matrix, 즉 B에서부터 A까지 오는 Homogeneous Transformation의 Inverse는 이와 같이 정의되고 이 정의된 것을 A에서 B까지 오는 Homogeneous Transformation이라 말할 수도 있습니다. 그리고 그 2개를 같이 곱했을 때, 당연히 역행렬이기 때문에, Identity Matrix를 만족해야합니다.
수식으로 계산해보면 쉽게 Identity Matrix가 된다는 것을 확인할 수 있게 됩니다.

여기까지 살펴봄으로서, 여러분들은 Homogeneous Transformation이 어떻게 구성되고 어떤 장점을 갖고 있는지 이 Homogeneous Transformation의 Inverse는 어떻게 계산하는지를 살펴보았습니다